您的位置 首页 百科

一笔能不能写出一个“田”字?李永乐老师带你了解有趣的一笔画问题

猜一猜,下面哪张图是一笔画不成的?

什么样的图形只用一笔就能画出来?笔既不离开纸面,也不重复。这实际上是十八世纪一个经典的数学问题:哥尼斯堡七桥问题。

七桥问题

在普鲁士的哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)有一个公园,公园里有七座桥将普雷格尔河中两个岛与与河岸连接起来。

1736年,当地居民举办了一项有意思的健身活动:在星期六作一次走过所有七座桥的散步,每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。

有许多人进行了尝试,但是都失败了。此时当时世界上最伟大的数学家欧拉刚好在这里,他敏锐的发现这里蕴藏着深刻的数学内涵,并把它称为一笔画问题。

欧拉把七座桥画作七条线段,并把问题转化为是否可以通过一笔将这个图形画出来。经过思考,欧拉认为这是不可能的。

不仅如此,欧拉还得出了哪些图形可以一笔画,哪些不能一笔画的条件。

首先,欧拉把图形中的点分为两种:如果过该点的线段有偶数条,就称为偶点;如果过该点的线段有奇数条,就称为奇点。比如下面的图形中,红色圆圈的点就是偶点,绿色圆圈的点就是奇点。

欧拉指出:如果一个图形可以一笔画,那么它的奇点个数一定是0个或者2个。

如果奇点个数是0个,那么起点和终点是同一个点,从图形中任何一点出发都可以一笔画,比如上图中左边的图形就是这样。

如果奇点个数是2个,那么只能从一个奇点出发,画到另一个奇点,才能将图形画出来,这就是上图中右边的情况。

理解这个问题其实并不难,因为:

如果一个点既不是起点也不是终点,那么线段经过该点时必然会一进一出,线段成对出现,一定是偶点。

如果起点和终点是一个点,那么该点有一条出发线段和一条结束线段,也是偶点。

如果这个点只是出发点,或者只是结束点,才可能是奇点。

所以,如果从一点出发一笔画回到这个点,图形中就不会有奇点;如果从一点出发一笔画到另一点,图形中就会有两个奇点。

比如,我们来看看“日”是否能一笔画?

由于日字腰上两个点有三条线段,因此是奇点,其余点都有两条线段,是偶点。因此日字可以一笔画,而且必须从腰上的一点出发到另一点结束。按照图中1234567的顺序,就能画出来了。

我们再来看看格尼斯堡七桥问题

在这个图形中,过A、C或D各有3条线段,是奇点;过B有5条线段,也是奇点。图中有4个奇点,因此是不能一笔画的。

对于上面的四个图,每个图奇点个数分别是:4、2、0、2,所以第一个图不能一笔画,而后面三个图可以。

说了这么多,读者是不是可以看看“田”字中有几个奇点?能不能一笔画呢?

欧拉

欧拉向圣彼得堡科学院提交《哥尼斯堡的七座桥》的论文时,只有29岁,在解答问题的同时,他开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑。

欧拉是一个天才,在数学史上的地位就像牛顿在物理学的地位一般伟大,我们在研究数学时会经常看到欧拉公式、欧拉定理、欧拉函数。他13岁进大学学习,16岁就获得了硕士学位。28岁时,由于生病,欧拉的右眼失明了。晚年时左眼也失明了。但是就在双目失明的情况下,欧拉还凭借心算解决了许多的数学问题。

他不光是数学史上里程碑式的人物,同时也是一位物理学家,为物理学的发展铺平了数学的道路。在他的一生中写出了886本书籍和论文,彼得堡科学院为了整理他的著作,足足忙了47年!

李永乐

李永乐老师:北京大学物理与经济双学士,清华大学电子工程硕士;北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年,培养清华北大学生200余人,国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。

扫二维码,关注公众号

↙↙↙点击下方“阅读原文”,进入李老师物理直播课网站。

为您推荐

发表评论

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用*标注

返回顶部